常见证明

以下是对连续时间傅里叶变换（CTFT）主要特性的证明。定义傅里叶变换对为：

\[
X(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} x(t) e^{-j\omega t} dt, \quad x(t) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} X(\omega) e^{j\omega t} d\omega
\]

记作 \( x(t) \leftrightarrow X(\omega) \)。

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### 1. 延时（时移）
**特性**：
\[
x(t – t_0) \leftrightarrow e^{-j\omega t_0} X(\omega)
\]

**证明**：
令 \( y(t) = x(t – t_0) \)。
\[
Y(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} x(t – t_0) e^{-j\omega t} dt
\]
设 \( \tau = t – t_0 \)，则 \( t = \tau + t_0 \)，\( dt = d\tau \)：
\[
Y(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} x(\tau) e^{-j\omega (\tau + t_0)} d\tau = e^{-j\omega t_0} \int_{-\infty}^{\infty} x(\tau) e^{-j\omega \tau} d\tau = e^{-j\omega t_0} X(\omega)
\]

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### 2. 频移
**特性**：
\[
e^{j\omega_0 t} x(t) \leftrightarrow X(\omega – \omega_0)
\]

**证明**：
\[
\mathcal{F}[e^{j\omega_0 t} x(t)] = \int_{-\infty}^{\infty} x(t) e^{j\omega_0 t} e^{-j\omega t} dt = \int_{-\infty}^{\infty} x(t) e^{-j(\omega – \omega_0) t} dt = X(\omega – \omega_0)
\]

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### 3. 时域微分
**特性**：
\[
\frac{d x(t)}{d t} \leftrightarrow j\omega X(\omega)
\]
（假设 \( x(t) \to 0 \) 当 \( t \to \pm\infty \)）

**证明**：
\[
\mathcal{F}\left[\frac{dx}{dt}\right] = \int_{-\infty}^{\infty} \frac{dx}{dt} e^{-j\omega t} dt
\]
分部积分：令 \( u = e^{-j\omega t} \), \( dv = \frac{dx}{dt} dt \)，则 \( du = -j\omega e^{-j\omega t} dt \)，\( v = x(t) \)：
\[
= \left. x(t) e^{-j\omega t} \right|_{-\infty}^{\infty} – \int_{-\infty}^{\infty} x(t) (-j\omega) e^{-j\omega t} dt
\]
边界项为 0（\( x \) 衰减），得：
\[
= j\omega \int_{-\infty}^{\infty} x(t) e^{-j\omega t} dt = j\omega X(\omega)
\]
推广：
\[
\frac{d^n x(t)}{dt^n} \leftrightarrow (j\omega)^n X(\omega)
\]

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### 4. 频域微分
**特性**：
\[
(-jt)^n x(t) \leftrightarrow \frac{d^n X(\omega)}{d\omega^n}
\]
特别地：
\[
t x(t) \leftrightarrow j \frac{dX(\omega)}{d\omega}
\]

**证明**（对 \( n=1 \)）：
由定义：
\[
X(\omega) = \int x(t) e^{-j\omega t} dt
\]
两边对 \( \omega \) 求导：
\[
\frac{dX(\omega)}{d\omega} = \int x(t) (-jt) e^{-j\omega t} dt = \mathcal{F}[-j t x(t)]
\]
所以 \( \mathcal{F}[t x(t)] = j \frac{dX(\omega)}{d\omega} \)。对 \( n \) 次求导得：
\[
\mathcal{F}[(-jt)^n x(t)] = \frac{d^n X(\omega)}{d\omega^n}
\]

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### 5. 时域卷积
**特性**：
\[
(x * y)(t) \leftrightarrow X(\omega) Y(\omega)
\]
其中 \( (x*y)(t) = \int_{-\infty}^{\infty} x(\tau) y(t-\tau) d\tau \)。

**证明**：
\[
\mathcal{F}[x*y] = \int_{-\infty}^{\infty} \left[ \int_{-\infty}^{\infty} x(\tau) y(t-\tau) d\tau \right] e^{-j\omega t} dt
\]
交换积分顺序：
\[
= \int_{-\infty}^{\infty} x(\tau) \left[ \int_{-\infty}^{\infty} y(t-\tau) e^{-j\omega t} dt \right] d\tau
\]
对内部积分变量替换 \( u = t – \tau \)：
\[
\int y(u) e^{-j\omega (u+\tau)} du = e^{-j\omega \tau} Y(\omega)
\]
代入：
\[
= \int x(\tau) e^{-j\omega \tau} Y(\omega) d\tau = X(\omega) Y(\omega)
\]

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### 6. 频域卷积
**特性**：
\[
x(t) y(t) \leftrightarrow \frac{1}{2\pi} (X * Y)(\omega)
\]
其中 \( (X*Y)(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} X(\nu) Y(\omega-\nu) d\nu \)。

**证明**：
\[
\mathcal{F}[x(t) y(t)] = \int_{-\infty}^{\infty} x(t) y(t) e^{-j\omega t} dt
\]
用反变换表示 \( y(t) \)：
\[
y(t) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} Y(\nu) e^{j\nu t} d\nu
\]
代入：
\[
= \int x(t) \left[ \frac{1}{2\pi} \int Y(\nu) e^{j\nu t} d\nu \right] e^{-j\omega t} dt
\]
交换积分：
\[
= \frac{1}{2\pi} \int Y(\nu) \left[ \int x(t) e^{-j(\omega – \nu) t} dt \right] d\nu
\]
\[
= \frac{1}{2\pi} \int Y(\nu) X(\omega – \nu) d\nu = \frac{1}{2\pi} (X * Y)(\omega)
\]

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### 7. 帕萨瓦尔定理
**特性**（能量守恒）：
\[
\int_{-\infty}^{\infty} |x(t)|^2 dt = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} |X(\omega)|^2 d\omega
\]

**证明**：
\[
\int_{-\infty}^{\infty} |x(t)|^2 dt = \int x(t) x^*(t) dt
\]
用反变换表示 \( x^*(t) \)（注意取共轭）：
\[
x^*(t) = \frac{1}{2\pi} \int X^*(\omega) e^{-j\omega t} d\omega
\]
代入：
\[
= \int x(t) \left[ \frac{1}{2\pi} \int X^*(\omega) e^{-j\omega t} d\omega \right] dt
\]
交换积分顺序：
\[
= \frac{1}{2\pi} \int X^*(\omega) \left[ \int x(t) e^{-j\omega t} dt \right] d\omega
\]
\[
= \frac{1}{2\pi} \int X^*(\omega) X(\omega) d\omega = \frac{1}{2\pi} \int |X(\omega)|^2 d\omega
\]

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以上即常见连续时间傅里叶变换特性的严格证明。